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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 Sa+ I;,i>  
we'Uv4-  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. eJm vGjU  
Yi=1$   
  1、三角函数本质: ?FNDnO  
9bJT 9a3  
  三角函数的本质来源于定义 fVl>susg 7  
xgL=/9g!b  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 K v@GV4  
r2GLeh,pr  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Ll~!MIj#_  
S!r|:{w  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: g@f#]VdR  
O>cn+<>u3g  
  推导: g`1z b[5A  
s>"f(u5K  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 2B%R!:H  
nO&Sn/? Ap  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4VK_Y{  
7Z!(6Iw1 P  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Q=@|7GF5h  
Pm $ypun  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 hNveGL=SG  
=8$c"% 5$  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) d3v1 {mpv  
#M12MCq  
  [1] "Y5P(WfZ  
aER{D_OX  
  两角和公式 s iGyO  
[5@hP  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB oKfMA  
9$8;= 6n  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  nfO>7w  
y]sM\ X  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB N !OL?}  
R3xN~}G  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /L8< n  
.Y@d%dkV  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \r{8lO4.=  
q8Ed/qB  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9SC!Je>S{  
s?j7^?V  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -18$9vIw(  
]c6lu~Ef  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0xd^\tRf,  
=S)0f/YN)  
倍角公式 >Kv ]<  
bbbJ7 ;~x  
  Sin2A=2SinA•CosA U\sC,t-UH  
wVq|fc-Uc1  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *>wx,QJ\N  
rbSxR.K=W$  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ;]~WsHgb(2  
,L 3eNAl  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) @MR cJPD  
!$6GD[+pX  
三倍角公式 Oxn+yt   
KNmo>r  
   l!ZLqq^  
f*G3 oWg3  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `(ufAjG tp  
0F*iB  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {A<fNtu|>  
LT;`H6  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T 9<?ksw  
&sRJ3O=99  
三倍角公式推导 ToD+H` 8  
wb=(-jsgn'  
  sin3a a"T,n-"  
E_)>|"y1  
  =sin(2a+a) Ak\;`K  
AJ4X??  
  =sin2acosa+cos2asina BZE@ q/D  
mzK8pD5u  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 99o.|xFw  
1@#C,n<3  
  =3sina-4sin³a X-oeNvr,'  
1N~#wGk  
  cos3a  0LwAq  
A!bjt~am  
  =cos(2a+a) ^&OT!]`  
a-Yu],  
  =cos2acosa-sin2asina f\1~Wi v  
G6_ d[~u  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Ou=)dub6CF  
8;me|T;&  
  =4cos³a-3cosa '6`'G  
,uo lK{"DH  
  sin3a=3sina-4sin³a `3rIo{  
IbE:g\  
  =4sina(3/4-sin²a) GIh")A;C t  
t ^%4Tc  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] E0}SwH >@  
N-y a79  
  =4sina(sin²60°-sin²a) vv4\+fb}  
?9 e@mCr  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) v ~Gh !jC  
t9q~4h  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !s V:X>P9  
_t}T2P7YM  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) uscl 5!s  
l&L>Z  
  cos3a=4cos³a-3cosa 3mOs*.`96$  
\ ++<,%:  
  =4cosa(cos²a-3/4) G`?7$n)  
c};Y~(.]1  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] )($*kk ;!_  
F(&X;<'c  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) J'LZ@C9^  
.+6E=WZ>  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) u<LOg?6  
eP~ oV  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }+j" h>,  
}gcxC  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @ $C "K  
tYAjwp&|N  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ))EKOh  
=JUCtAv3  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] FB 3C =  
;L9y$,\U  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6'U45AdT  
E!;RB  
  上述两式相比可得 j\CZ-jp'  
xTSHZ :  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) je&7Q_O  
pIG]U  
半角公式 .=GFEW  
$ X~`\B@  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [jKzu\#  
oQ5s  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1u'V1Ooe  
5CUE<^SWOR  
和差化积 !8:Cb2T  
e4B}$Y7.  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '`_  
WYb-lfz  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qW{CfK2  
:.7({86e  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bp73  
!QgL9DCM  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] e6dg-B  
IQ3FUyh  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 8 E0R  
H9r*=iAq5  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &'f]\kPP  
<n`>`uWy;  
积化和差 -Q;6 iZX  
Hx D5  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !d.ksq~  
J$;jD-  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] JCD<n9   
uF-"O#_  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6!q g G T  
V93vLXcG  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]  vWYkIc>1  
FjF~V8"  
诱导公式 {O_ ?+|3q  
)]#rB@QA  
  sin(-α) = -sinα evU(:"   
`w2|!f$p*  
  cos(-α) = cosα <_CM~fCg  
d^a "S/5Hh  
  sin(π/2-α) = cosα XXuz7$3  
mKd~lkS-  
  cos(π/2-α) = sinα "g~H_n_C  
YuSMO/*d  
  sin(π/2+α) = cosα [yj+\ rg  
4wk|*</*N  
  cos(π/2+α) = -sinα 1 mXz+{ 0  
+@mNPUq  
  sin(π-α) = sinα ~)/72]E/b  
>e1Z G  
  cos(π-α) = -cosα D>g2G T  
$;OBgj=  
  sin(π+α) = -sinα S 9h~TK  
'$E}[/&L  
  cos(π+α) = -cosα xV|&6Dr  
K.*Co/3Y.  
  tanA= sinA/cosA +6ZPT1  
5sKAS*; -  
  tan(π/2+α)=-cotα kRn1|0: r  
Qc6QO{  
  tan(π/2-α)=cotα nZ%$BB  
+7Rr/ TL1  
  tan(π-α)=-tanα x v1GC|5  
xz65bg  
  tan(π+α)=tanα p7}g&Q<V^#  
sTot^QUi)  
万能公式 2%8BV`E  
jQGl7m:<  
   o)ze'\"Ks  
6Nm/xX$^1  
其它公式 4bZv-Aej\7  
ub @D/. Z}  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 tZvR.8s  
*CV,ERF)  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 3J%;A9  
WpL95F82A  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 ' 3HBcN i  
OMz@A%Itc  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6/fX+\L  
7H Voh  
  对于任意非直角三角形,总有 :NPBij K6  
gF'(  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ie/|m@~:FN  
s` 2T2 5  
  证: _>)g'N>  
Q8 k3rM  
  A+B=π-C -9 &ukW@p  
s#&i^  
  tan(A+B)=tan(π-C) ({ g$  
C/4W7=>  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) G~>?eQc V  
%d."f7   
  整理可得  UkjWAKk  
z'V7Nn;>  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x bdz:a~  
|z v{<%  
  得证 l7YQ!3N  
,/|j7s:  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ]Z f7 rk>  
P ? NWdL  
其他非重点三角函数 ]}u?XP&|P  
6~`uq#Zr  
  csc(a) = 1/sin(a) m\zj@eN  
b9yL;  
  sec(a) = 1/cos(a) H5fii[*h  
9rB6B&  
   7nTs` #d  
Y7H;KU#hp  
双曲函数 |'}'J#Vn>1  
=`1E(> sJ6  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 & Q^9@4rE  
d3>@_{F3^7  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ta; n ]  
/v{X S^;  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &*|\0D  
OZ<z_3  
  公式一: p-v%95]1%  
}{DvR0{v1,  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: phI_l'  
v@vH)/*b  
  sin(2kπ+α)= sinα (}4j'.38  
W|/}`h+  
  cos(2kπ+α)= cosα Rvfs^Vc  
uBlet}/n  
  tan(kπ+α)= tanα f;f;5#g  
x]m{  
  cot(kπ+α)= cotα S(+2iwYB  
2g~|T?  
  公式二: ")L _|o  
y UA Wno  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: IwC]r h  
8;nT 78x  
  sin(π+α)= -sinα Jx>(| ,i @  
N}3?5Skh  
  cos(π+α)= -cosα ,`N{T1L%  
~^"\(.  
  tan(π+α)= tanα A6+^zN-u!*  
gT(X []  
  cot(π+α)= cotα UP AlCy`cG  
/y)&p? i  
  公式三: n@1a>lZT  
o-3|31C8  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ed M1&>  
yI B#s*c(  
  sin(-α)= -sinα rx-O.hxH  
,Q  ~1+  
  cos(-α)= cosα ~Tr&=rC "?  
7Y4XMqJg  
  tan(-α)= -tanα W%}G }4^  
=r\o. _[  
  cot(-α)= -cotα 9zin2H93M  
ey|X:=  
  公式四: kG-I5inf]  
[a2?/WmH  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 2'-3,fPf*  
.P9,D.  
  sin(π-α)= sinα k=qPF)  
eJ&1s-Y1z  
  cos(π-α)= -cosα E^"YjZP  
(1zx^  
  tan(π-α)= -tanα >W%t7'"Np  
vHQ_XvT N  
  cot(π-α)= -cotα }j<c=^?A  
M1A_X)vr  
  公式五: Q58yrv./P  
$OL ^up  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: PP5|B T2h.  
VN=TZ$A  
  sin(2π-α)= -sinα X 27bYX F~  
Kl1wqB  
  cos(2π-α)= cosα 3W} u!dJ  
.LY%W\Kl  
  tan(2π-α)= -tanα ILif*1  
9jqHhcU3  
  cot(2π-α)= -cotα l<!}ZD73yW  
8G:b^C:|  
  公式六:  p=!` (]-  
1`h7!sT  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: MXe{g=w/  
?U0\3*9A_  
  sin(π/2+α)= cosα Jf=(Mg4NtW  
"7 |3o1$  
  cos(π/2+α)= -sinα W!e w/4  
zRu@ e  
  tan(π/2+α)= -cotα KT!,Fp`  
;tntt p2-  
  cot(π/2+α)= -tanα 5I7J}L!!u  
qv QLWq  
  sin(π/2-α)= cosα z ]I%$OL  
!4 ![  
  cos(π/2-α)= sinα Jh&63W*s"  
z8dokiS-  
  tan(π/2-α)= cotα }$x\:YH  
{NR$sV[9$t  
  cot(π/2-α)= tanα Wjg,H$  
l&S^^Wm  
  sin(3π/2+α)= -cosα .fme^~$  
nH S4~Ijy  
  cos(3π/2+α)= sinα K[%tC n<h  
}DT^.Zj  
  tan(3π/2+α)= -cotα RDf=JQ8 PJ  
@iF, '=v=  
  cot(3π/2+α)= -tanα rE,^N\YR  
\ J'N  
  sin(3π/2-α)= -cosα H7{Z0>>M  
9F7dHB"  
  cos(3π/2-α)= -sinα }> t <G  
c@TgxPwx  
  tan(3π/2-α)= cotα 9{WiZr&h  
~+J 2LZ  
  cot(3π/2-α)= tanα U}lMVj1-  
2 "X~|;6  
  (以上k∈Z) V~=] `+  
H(J_rqW$g*  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Fmk ZYj*  
Y( N*Y:  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = @ L;0c9  
0b2$W\< I  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1f9AZ,yB}  
$1x)v9L  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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