三角函数内容规律 Sa+I;,i>
we'Uv4-
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. eJm
vGjU
Yi=1$
1、三角函数本质: ?FNDnO
9bJT
9a3
三角函数的本质来源于定义 fVl>susg
7
xgL=/9g!b
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Kv@GV4
r2GLeh,pr
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 Ll~!MIj#_
S!r|:{w
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: g@f#]VdR
O>cn+<>u3g
推导: g`1zb[5A
s>"f(u5K
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 2B%R!:H
nO&Sn/?
Ap
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4VK_Y{
7Z!(6Iw1 P
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Q=@|7GF5h
Pm $ypun
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 hNveGL=SG
=8$c"%5$
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) d3v1 {mpv
#M12MCq
[1] "Y5P(WfZ
aER{D_OX
两角和公式 s
iGyO
[5@hP
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB oKfMA
9$8;=6n
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB nfO>7w
y]sM\X
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB N!OL?}
R3xN~}G
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /L8<n
.Y@d%dkV
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \r{8lO4.=
q8Ed/qB
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9SC!Je>S{
s?j7^?V
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) -18$9vIw(
]c6lu~Ef
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0xd^\tRf,
=S)0f/YN)
倍角公式 >Kv
]<
bbbJ7 ;~x
Sin2A=2SinA•CosA U\sC,t-UH
wVq|fc-Uc1
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *>wx,QJ\N
rbSxR.K=W$
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ;]~WsHgb(2
,L
3eNAl
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) @MR
cJPD
!$6GD[+pX
三倍角公式 Oxn+yt
KN mo>r
l!ZLqq^
f*G3
oWg3
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `(ufAjG tp
0F* iB
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {A<fNtu|>
LT;`H 6
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T9<?ksw
&sRJ3O=99
三倍角公式推导 ToD+H`8
wb=(-jsgn'
sin3a a"T,n-"
E_)>|"y1
=sin(2a+a) Ak\;`K
AJ4X??
=sin2acosa+cos2asina BZE@ q/D
mzK8pD5u
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 99o.|xFw
1@#C,n<3
=3sina-4sin³a X-oeNvr,'
1N~#wGk
cos3a 0LwAq
A!bjt~am
=cos(2a+a) ^&OT!]`
a-Yu],
=cos2acosa-sin2asina f\1~Wiv
G6_
d[~u
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Ou=)dub6CF
8;me|T;&
=4cos³a-3cosa '6`'G
,uolK{"DH
sin3a=3sina-4sin³a `3rIo{
IbE:g\
=4sina(3/4-sin²a) GIh")A;C
t
t^%4Tc
=4sina[(√3/2)²-sin²a] E0}SwH >@
N-y a79
=4sina(sin²60°-sin²a) vv4\+fb}
?9e@mCr
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) v~Gh !jC
t9 q~4h
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !s V:X>P9
_t}T2P7YM
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) uscl
5!s
l&L>Z
cos3a=4cos³a-3cosa 3mOs*.`96$
\ ++<,%:
=4cosa(cos²a-3/4) G`?7$n)
c};Y~(.]1
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )($*kk;!_
F(&X;<'c
=4cosa(cos²a-cos²30°) J'LZ@C9^
.+6E=WZ>
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) u<LOg?6
eP~ oV
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }+j"
h>,
}gcxC
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @
$C "K
tYAjwp&|N
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ))EKOh
=JUCtAv3
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] FB
3C=
;L9y$,\U
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6'U45AdT
E!;RB
上述两式相比可得 j\CZ-jp'
xTSHZ :
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) je&7Q_O
pIG]U
半角公式 .=GFEW
$X~`\B@
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [jKzu\#
oQ5s
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1u'V1Ooe
5CUE<^SWOR
和差化积 !8:Cb2T
e4B}$ Y7.
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '`_
WYb-lfz
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qW{CfK2
:.7({86e
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bp73
!QgL9DCM
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] e6dg-B
IQ3FUyh
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
8 E0R
H9r*=iAq5
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &'f]\kPP
<n`>`uWy;
积化和差 -Q;6 iZX
HxD5
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !d.ksq~
J$;jD-
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] JCD<n9
uF-"O#_
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6!q
g GT
V93vLXcG
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
vWYkIc>1
FjF~V8"
诱导公式 {O_ ?+|3q
)]#rB@QA
sin(-α) = -sinα evU(:"
`w2|!f$p*
cos(-α) = cosα <_CM~fCg
d^a "S/5Hh
sin(π/2-α) = cosα XXuz7$3
mKd~lkS-
cos(π/2-α) = sinα "g~H_n_C
YuSMO/*d
sin(π/2+α) = cosα [yj+\rg
4wk|*</*N
cos(π/2+α) = -sinα 1
mXz+{0
+@mNPUq
sin(π-α) = sinα ~)/72]E/b
>e1Z
G
cos(π-α) = -cosα D>g2G
T
$; OBgj=
sin(π+α) = -sinα S9h~TK
'$E}[/&L
cos(π+α) = -cosα xV|&6Dr
K.*Co/3Y.
tanA= sinA/cosA +6ZPT1
5sKAS*;-
tan(π/2+α)=-cotα kRn1|0:r
Q c6QO{
tan(π/2-α)=cotα nZ%$BB
+7Rr/TL1
tan(π-α)=-tanα x v1GC|5
xz65bg
tan(π+α)=tanα p7}g&Q<V^#
sTot^QUi)
万能公式 2%8BV`E
jQGl7m:<
o)ze'\"Ks
6Nm /xX$^1
其它公式 4bZv-Aej\7
ub
@D/.Z}
(sinα)^2+(cosα)^2=1 tZvR.8s
*CV,ERF)
1+(tanα)^2=(secα)^2 3J%;A9
WpL95F 82A
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ' 3HBcN
i
OMz@A%Itc
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6/fX+\L
7H Voh
对于任意非直角三角形,总有 :NPBij
K6
gF '(
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ie/|m@~:FN
s` 2T2
5
证: _>)g'N>
Q8
k3rM
A+B=π-C -9&ukW@p
s#&i^
tan(A+B)=tan(π-C) ({ g$
C/4W7=>
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) G~>?eQc
V
%d."f7
整理可得 UkjWAKk
z'V7Nn;>
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
x bdz:a~
|z
v{<%
得证
l7YQ!3N
,/|j7s:
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ]Z f7
rk>
P? NWdL
其他非重点三角函数 ]}u?XP&|P
6~`uq#Zr
csc(a) = 1/sin(a) m\zj@eN
b9yL;
sec(a) = 1/cos(a) H5fii[*h
9rB6B&
7nTs`#d
Y7H;KU#hp
双曲函数 |'}'J#Vn>1
=`1E(>
sJ6
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 &Q^9@4rE
d3>@_{F3^7
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ta;
n]
/v{X
S^;
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &*|\0D
OZ<z_3
公式一: p-v%95]1%
}{DvR0{v1,
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: phI_l'
v@vH)/*b
sin(2kπ+α)= sinα (}4j'.38
W|/}`h+
cos(2kπ+α)= cosα Rvfs^Vc
u Blet}/n
tan(kπ+α)= tanα f;f;5#g
x]m{
cot(kπ+α)= cotα S(+2iwYB
2g~|T?
公式二: ")L_|o
yUA
Wno
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: IwC]rh
8; nT78x
sin(π+α)= -sinα Jx>(| ,i@
N}3?5Skh
cos(π+α)= -cosα ,`N{T1L%
~^"\(.
tan(π+α)= tanα A6+^zN-u!*
gT(X
[]
cot(π+α)= cotα UP AlCy`cG
/y)&p?
i
公式三: n@1a>lZT
o-3|31C8
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ed M1&>
yI B#s*c(
sin(-α)= -sinα rx-O.hxH
,Q ~1+
cos(-α)= cosα ~Tr&=rC"?
7Y4XMqJg
tan(-α)= -tanα W%}G
}4^
=r\o._[
cot(-α)= -cotα 9zin2H93M
ey|X:=
公式四: kG-I5inf]
[a2?/WmH
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 2'-3,fPf*
.P9,D.
sin(π-α)= sinα k=qPF)
eJ&1s-Y1z
cos(π-α)= -cosα E^"Yj ZP
(1zx^
tan(π-α)= -tanα >W%t7'"Np
vHQ_XvTN
cot(π-α)= -cotα }j<c=^?A
M1A_X)vr
公式五: Q58yrv./P
$OL ^u p
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: PP5|BT2h.
VN=TZ$A
sin(2π-α)= -sinα X
27bYXF~
Kl1wqB
cos(2π-α)= cosα 3W} u!dJ
. LY%W\Kl
tan(2π-α)= -tanα ILif*1
9jqHhcU3
cot(2π-α)= -cotα l<!}ZD73yW
8G:b^C:|
公式六:
p=!`
(]-
1`h7!sT
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: MXe{g=w/
?U0\3*9A_
sin(π/2+α)= cosα Jf=(Mg4NtW
"7|3o1$
cos(π/2+α)= -sinα W!e
w/4
zRu@ e
tan(π/2+α)= -cotα KT!,Fp`
;tnttp2-
cot(π/2+α)= -tanα 5I7J}L!!u
qv QLWq
sin(π/2-α)= cosα
z]I%$OL
!4 ![
cos(π/2-α)= sinα Jh&63W*s"
z8dokiS-
tan(π/2-α)= cotα }$x\:YH
{NR$sV[9$t
cot(π/2-α)= tanα Wjg,H$
l&S^^Wm
sin(3π/2+α)= -cosα .fme^~$
nH
S4~Ijy
cos(3π/2+α)= sinα K[%tCn<h
}DT^.Zj
tan(3π/2+α)= -cotα RDf=JQ8 PJ
@iF,'=v=
cot(3π/2+α)= -tanα rE,^N\YR
\ J'N
sin(3π/2-α)= -cosα H7{Z0>>M
9F7dHB"
cos(3π/2-α)= -sinα }> t<G
c@TgxPwx
tan(3π/2-α)= cotα 9{WiZr&h
~+J 2LZ
cot(3π/2-α)= tanα U}lMVj1-
2
"X~|;6
(以上k∈Z) V~=] `+
H(J_rqW$g*
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Fmk ZYj*
Y( N*Y:
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = @
L;0c9
0b2$W\< I
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1f9AZ,yB}
$1x)v9L
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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