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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 c{1U=J}X  
n]mVlc  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. > >T>aZ;  
 =HJ 3MP  
　　1、三角函数本质： jjM?<V#p  
LYRb  
　　三角函数的本质来源于定义 )cuJY9f  
,{= RL_  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Lk0"1~  
9uX-'iF lw  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Ophf+Jy  
~w0XDueHr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： fAKAUf77  
5~i'El  
　　推导： M4H9-yND  
RlOj6#RQA  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 pyW}wGf  
B@S>bUHLM  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) *VeP-  
m6$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @ d D1r}  
x3r}${  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 sd^6p%us=7  
zP?G^53 t-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]4 kz%2\  
p$i 1(3<  
　　[1] 3ncX'j||rn  
'+ R4Z<,H  
　　两角和公式 g 1-`(/  
ZP@*`Mp  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Ug IRq2(  
E mrW>kx  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  }Z.>&7?36  
dw%MUcQ;i  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB &[-SK:H#  
GgQ{_&s.f  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~J1gnoVx  
8o7'X}  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Sb3q"D:2?  
%eU]uiw6lm  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) bTqgf_f  
X[D[I#oh  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {D"_yC`V  
u_wsr> }  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^r>LZWj'  
Eju Fr5.  
倍角公式 (&=Su Cq  
R v sR  
　　Sin2A=2SinA•CosA [%"8I!qM  
 $<pNh:  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !^>:s  
0(_}|A  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） MrE07T_~  
S"W ~]  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _<JB?cTO  
wt/B}R1k  
三倍角公式 GMf;l>>m  
ECt CzX8  
　　 XUm1YVa  
9^oGF*;8  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) C*GL9 )=:A  
>U6>^zVM  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 2G9-l 1W  
j Y@lgs  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) dE;>bRt  
w\&2Vcdy  
三倍角公式推导 !2 4.k  
6M^VERS  
　　sin3a VX.,['Ci  
>hu@#vf>D  
　　=sin(2a+a) x}kE3 L&  
W<L9g>fFm)  
　　=sin2acosa+cos2asina )p*[I"@#I  
oHTo-M"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Saccl@t  
.e{GnV0 !  
　　=3sina-4sin³a Ul,I8  
%f_6}L\  
　　cos3a D@O11dWq#  
r M~YI\d  
　　=cos(2a+a) \}o"!B5)j  
d ,nmO%@%  
　　=cos2acosa-sin2asina _Sfs@x<  
?S'U<Mzei  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa R09n+of=  
F*W'6I<  
　　=4cos³a-3cosa (F*{i~  
"[;w$I'qZ  
　　sin3a=3sina-4sin³a HYD;6 K0  
dm& B2$  
　　=4sina(3/4-sin²a) 95p )Z}:4z  
;<9W^qhAX  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] T[He/qc  
N>tvjW,J7  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) XyIRX4 LG  
H,#:b6r C  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 2 OU:IJ&  
^+igcL[w  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] K2K bz  
cJgV m B3  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) w}9gW&n  
q5e|Gt?o  
　　cos3a=4cos³a-3cosa zu3O$)C e  
 4{gx##  
　　=4cosa(cos²a-3/4) cZ[Eg+ J  
vD@I7fo  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] VV9C>Va,TL  
CY/1IY#z  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) F $nW`l0  
+!+K[j)4*@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ag{>eG \.  
JKj,h2#/  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @VLQ`AoM/  
.E^JWxp0  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) E"M75 bl  
*j$zdMCH  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Z4L~cAkM  
]I/4r"UhM  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Lo(plSk  
h]:v=aVG  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) LoPLG!  
)i]a | l  
　　上述两式相比可得 )I"Oe8vi  
:GgRfw&#  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,BfH[|1  
*c_;,]yQ\  
半角公式 Xt.wz4+W  
 wi}  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); x)tQ8  
jcMd]cHCpV  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {?_pGp,  
j4Z]K qA  
和差化积 #K,>C!b)  
hszF3-y  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] aim|W+g  
\T4t56  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "'?iQMr,Mh  
fG }I(  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *g]SW?n  
? rrplvT  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |+dv  
4(>9Bh".  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 8+O 88"  
PUH$`Eby4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) X)=dP<m  
@DLEA{OQY  
积化和差 Z jHDg;g  
Y2$CVm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8GNc^(` j  
wK2wp_0T  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] dEyA|L=+)  
a5>QWY  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {` }. |>  
h"i8\s5D,  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ,8aR   
,AnK5 ;  
诱导公式 8.&#}JSl   
)cT<HLu;  
　　sin(-α) = -sinα &wE$PDn  
&l|@ M(z  
　　cos(-α) = cosα 6K''Kb0  
.;v(d F  
　　sin(π/2-α) = cosα ]CB4^}LE  
/f1HWt:C,  
　　cos(π/2-α) = sinα qYXd#1^tY  
?H +c#P/  
　　sin(π/2+α) = cosα (!Jx0Ri zc  
wOs,uc&$  
　　cos(π/2+α) = -sinα 7BBUqdR  
) pq\U  
　　sin(π-α) = sinα ;&q!xQ2  
-G}n}   
　　cos(π-α) = -cosα ' teR|=gSP  
^}DWGS5  
　　sin(π+α) = -sinα it7+fYaI  
U-H 4_@M  
　　cos(π+α) = -cosα 7'j{O  
 v{`c2T  
　　tanA= sinA/cosA )*e ksk  
#Gf~,g  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 9pGyV5TVk  
IQRk   
　　tan（π/2－α）＝cotα K_E`2k&"="  
*F2zo%LfD  
　　tan（π－α）＝－tanα doyxrmIm  
2 St= K:  
　　tan（π＋α）＝tanα I(8Q*`2#  
Q*4PI\~X  
万能公式 G< ]C%{(  
e?ZGx Me  
　　 a2)eZ:Q3  
-auZ:"~  
其它公式 txq{e( q  
E'} M?;*~  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ;o 9])]qZ5  
@rl3<>t*9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 65KyOio^  
^DR9H(   
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 CH8s? zA!]  
Ek?dc\lJ-i  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 e;)o=K0t  
$&(+z:J#  
　　对于任意非直角三角形,总有 =gH:q1`D  
zm{s+ *H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC fF^R7`h  
;.6w<Jn  
　　证: 'IxELwU5qZ  
av&1\Eo"p  
　　A+B=π-C #! A'C@3A  
/P ?FLj.  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ~ZWlF![  
jncV0Ml+  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) snC&ms!  
3"'bX  
　　整理可得 \M)`<</  
d!dx3XB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5MB&y2[QM  
DZV2WN%r  
　　得证 <F}ZEvt|w  
= ~ OyVr  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 5J.YIF0M&  
i|N71{uU  
其他非重点三角函数 N-kc@A9  
M\YnlQ  
　　csc(a) = 1/sin(a) i bN(]}Y  
4N-dLy2@  
　　sec(a) = 1/cos(a) ^mje_r1K  
K6 [^oCx  
　　 uE>P2o=  
M A15V*  
双曲函数 L `4[(:  
H0~&O(hl  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 'b\ | W@WE  
0ZN  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !d6|`q  
3x 2`v9~  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,O_<;/YTQ  
:/>Z=*#  
　　公式一： Ecu4J#|+  
m;KhEWBN:  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Dqbg!_Y`-  
Duj CFK*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα XLWk@prw  
7,02voUCS  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `;}~H2gF  
D1RV*Ld5  
　　tan（kπ＋α）= tanα voPx8 |  
Y"P6 S  
　　cot（kπ＋α）= cotα vCHz v%6  
Q 5 j40  
　　公式二： op`#1m1r0G  
* _`k0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： (7HC{E' q  
fiWF;qb)  
　　sin（π＋α）= -sinα mMC;vVIK  
"Ln9*64n?  
　　cos（π＋α）= -cosα sH0sd1Wa+  
)]nc5[EbA  
　　tan（π＋α）= tanα ?hsTv+=S7  
<B}Q]4w9  
　　cot（π＋α）= cotα PI.-?i,N)  
jb[!?G{`  
　　公式三： 03t)+1a  
'{SUz=FJ$q  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +[!ni?+O/  
h_BTjLcY2  
　　sin（-α）= -sinα q+ C#&e$  
2/ra}=Nipy  
　　cos（-α）= cosα Z&]QNBW2_  
dLm.M  
　　tan（-α）= -tanα !d Y6Y`  
8rcmM%Q-  
　　cot（-α）= -cotα 4f;*M  
vH-*1p<n  
　　公式四： k9QBW`puw  
)`KRSZFJ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \Cg?j@X  
{99Cbe  
　　sin（π-α）= sinα G_.LpE  
7RJ hxA d)  
　　cos（π-α）= -cosα cdAe.  
N?"Rt C  
　　tan（π-α）= -tanα iQeqJ-iq0  
<v!Q,?0BP  
　　cot（π-α）= -cotα DP#vx_v\  
u|n -/51  
　　公式五： r7xvyy_$  
LnuKE%l^8  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： $I;ub5!jC  
"v;g$Fpb  
　　sin（2π-α）= -sinα "{mv3 6  
m4 C]W4Y  
　　cos（2π-α）= cosα )oM2DEuej  
(fa6Ju(5  
　　tan（2π-α）= -tanα 9J)_Yf-Gd^  
#4Ret  
　　cot（2π-α）= -cotα qP,)WH+&  
jlH   
　　公式六： IxgJuc s  
(0pO#  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： l/\Rj NJ  
>~DU`PNH<  
　　sin（π/2+α）= cosα vMBc P-  
]3?7x1Gz  
　　cos（π/2+α）= -sinα 4L;^] 8B/  
gIdy6YIj  
　　tan（π/2+α）= -cotα sQ lq\J,V%  
VU*Z k:A  
　　cot（π/2+α）= -tanα  I1jH  
r$A0BN  
　　sin（π/2-α）= cosα R k)wLZ/  
i7gM|g<M  
　　cos（π/2-α）= sinα Edp";x  
u5(rcJ),"Y  
　　tan（π/2-α）= cotα =N}>6Z1av  
}xA(JO5]e  
　　cot（π/2-α）= tanα ><U!>k Cz  
{5>7"^qO  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1>dY~Y  
,@A<W!$w  
　　cos（3π/2+α）= sinα 2J]`a?cV  
x^g" [Yv  
　　tan（3π/2+α）= -cotα w)/GY'$j  
&}Y7YnCV5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;[kYkV^52v  
"[oI(.{i  
　　sin（3π/2-α）= -cosα nhYxpp  
/,[O8MoF <  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  H~}MS  
Z9N $Xy  
　　tan（3π/2-α）= cotα j>u=$)52S  
zxiaVyfMx;  
　　cot（3π/2-α）= tanα 6`%D}>  
(c}+gxlf#  
　　(以上k∈Z) _uJKQn $}  
02Co"  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 R4I+ 6K^  
e%BEf%m^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = dsj l:td  
Ci~a&wI  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 4G3NMiEf  
@lk\y+  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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